Hullowata implikowana stopa repo

Wiele osób ma kłopot ze zrozumieniem zagadnienia implikowanej stopy repo z książki Hulla, który dość niejasno to wykłada, a że kiedyś tłumaczyłem to koledze, który o to poprosił to pomyślałem, że może podzielę się tym wytłumaczeniem i z Wami.
Mam nadzieję, że się komuś może przyda.

Przede wszystkim to że implikowana repo rate odbiega od stopy 'krótszych' krótkoterminowych bonów skarbowych (tj. ich zapadalność następuje po 56 dniach, a nie 146), oznacza że wszystkie wzory/tożsamości które Hull wypisał przed wzorem na implikowaną stopę repo (sprzed s. 139), nie są spełnione. Gdyby były to implikowana stopa repa byłaby równa tej krótkoterminowej bonów skarbowych.

Bony skarbowe mają wartość nominalną milion usd, a więc cena nabycia 95,21 oznacza że 100 usd bonów kosztowałoby 95,21 usd, ale skoro nominał wynosi 10 000 razy więcej (czyli milion usd) to musimy 95,21 * 10 000 = 952 100. I to jest cena jaką zapłacimy TERAZ za kupno tych 146-dniowych bonów skarbowych.

Zawsze futures w tych zadaniach opiewa na bony skarbowe o 90 dni dłuższe od tych, które są naszą stopą odniesienia w zadaniach. W tym wypadku zapadalność bonów 'krótszych' to 56 dni (więc dłuższe trwają 146 dni), a więc terminowa cena nabycia futures wynosząca 96,95 oznacza że zapłacimy (long w futures) 10 000 razy więcej za dostawę bonów 90-dniowych 969 500 za bony o nominale milion lub otrzymamy (short) za 56 dni gdy 56-dniowe bony skarbowe 'wygasną' a 146-dniowe bony staną się bonami 90-dniowymi. Nominał w wysokości miliona jest nam zwracany gdy bon wygasa (a więc za 56 dni od bonów krótszych i za 146 dni od tych na które opiewają futuresy).

Co się dzieje, gdy stopa procentowa bonów krótszych jest niższa niż implikowana stopa repo? Zaciągaj pożyczkę po zaniżonej stopie procentowej (56-dniowej) i ładuj to po 'uczciwej' stopie procentowej, która jest przecież wyższa (146-dniowej)! A skoro musimy spłacić za 56 dni pożyczkę, to jedyne co z futuresem możemy zrobić to go przyshorcić by otrzymać po 56 dniach swoje pieniądze, a nie czekać na nie 146 dni.

To tyle z teorii. Tutaj, przy zbyt niskiej stopie 56-dniowej (Hull mówi, że 11%) gdy zaciągamy pożyczkę to zaciągamy jej tyle, by móc kupić bony 146-dniowe (bo jak zaciągniemy mniej lub więcej to co z tą kasą zrobimy?), a bony 146-dniowe, jak wcześniej wspominałem, 952 100 kosztują. A skoro tyle pożyczamy to do oddania będziemy mieli 952 100e^(0,11 * 56/366) = 968 304,6740. Pożyczamy na 56 dni tylko, bo za tyle dni następuje rozliczenie futures! I za tyle dni oddajemy kasę! Skoro shorcimy przy tym w futures to za 56 dni otrzymamy cenę rozliczenia do ręki (bo strona długa kupuje od nas te 146-dniowe płacąc nam za to pieniądze), a kontrakt futures został ustalony przy cenie 969 500. A więc otrzymujemy 969 500, płacimy 968 304,6740, a więc zarobiliśmy na czysto 1195,326002 (Hull stosuje mongolskie zaokrąglenia).

Teraz w drugą stronę. Stopa 56-dniowa jest wyższa od implikowanej repo (12,5% wg Hulla), więc skoro jest taka wysoka, zawyżona na 'krótsza' stopa to zainwestujmy pieniądze w nią, a pożyczkę zaciągnijmy po 'uczciwej' 146-dniowej stopie. Skoro zainwestowaliśmy pieniądze w 'krótszy' bon, to pieniądz otrzymamy już za 56 dni! A co z nim możemy zrobić? Możemy jedynie kupić za to pozycję w futures na 90-dniowy bon skarbowy (90 dni on będzie miał za 56 dni, teraz ma 146 dni ofkoz), aby kasa jeszcze bardziej urosła by móc spłacić 146-dniową pożyczkę (jeśli nie zainwestujemy w long futures to kasa bedzie nam 'stała' w miejscu przez 90 dni i nam nie styknie do spłaty pożyczki). I zobacz że za 56 dni wg Hulla nie otrzymamy miliona usd nominału lecz tak dobieramy ilość bonów (będzie to ilość niecałkowita, ale to totalnie nieistotna kwestia techniczna w tym wypadku) by za 56 dni nam ta kasa urosła na tyle, by można było zapłacić cenę rozliczenia futures i przyjąć bony 90-dniowe!
Ponieważ potrzebujemy mieć za 56 dni 969 500 usd (tyle wynosi cena rozliczenia futures na 90-dniowe bony) to pożyczamy tyle, by po zainwestowaniu tego od TERAZ przez 56 dni mieć tyle by się rozliczyć za kontrakt i przyjąć dostawę bonów. A że możemy zainwestować po stopie 0,125 to potrzebujemy zaciągnąć pożyczkę równą 969 500e^(-0,125 * 56/365) = 951 084,0055. A pożyczkę zaciągamy po stopie rentowności bonów 146-dniowych, więc liczymy rentowność 146-dniowych bonów skarbowych by wiedzieć po jakiej stopie zaciągamy pożyczkę, czyli 365/146 * ln (100/95,21) = 0,122713. Ile mamy do oddania za 146 dni? 951 084,0055e^(0,122713 * 146/365) = 998 932,8833. Tyle oddamy za 146 dni. Okej, czyli te 951 084,0055 pożyczone TERAZ, zainwestowane na 56 dni, urośnie nam, za 56 dni, do 969 500 usd, za które kupimy bony 90-dniowe, które z kolei po tychże 90 dniach (a 146 dniach od TERAZ) urosną do wartości nominalnej, miliona usd.
Otrzymamy milion usd, spłacimy zaciągniętą pożyczkę 998 932,8833, więc na czysto zarabiamy
1 067,116717.